完全攻略 中学数学計算編
目次
中学計算１ 正負の数
中学計算２ 正負の加減の計算
中学計算３ 正負の加減の計算（かっこがついた計算）
中学計算４ 正負の乗除の計算
中学計算５ 累乗計算
中学計算６ 四則混合計算（整数）
中学計算７ 約分のコツ
中学計算８ 最小公倍数
中学計算９ 分母の通分
中学計算１０ 四則混合計算（分数）
中学計算１１ 分配法則
中学計算１２ 基準と差
中学計算１３ 平均
中学計算１４ 魔法陣
中学計算１５ 素数
中学計算１６ 一元式の文字式の計算 基本パターン12問
中学計算１７ 文字式の利用
中学計算１８ １元１次方程式の計算 攻略３ステップ
中学計算１９ 比の計算
中学計算２０ 等式の変形基本１２パターン
中学計算２１ 連立方程式の計算（基本編）
中学計算２２ 連立方程式の計算（標準編）
中学計算２３ 乗法公式の利用
中学計算２４ 因数分解
中学計算２５ 平方根の基礎
中学計算２６ 平方根の計算
中学計算２７ 平方根の利用（有名パターン５つ）
中学計算２８ ２次方程式の計算
１．数の分類
数は負の数，0，正の数に分けて考えることができます。
負の数は，0より小さい数のことで，符号－をつけて表します。
正の数は，0より大きい数のことで，符号＋をつけて表します。
整数とは，0と0から1ずつ小さくなったり，大きくなったりする数のことです。正の整数を特に自然数といいます。ここで気をつけることは，整数は0を含むが，自然数は0を含まないということです。
\(-\dfrac{8}{3}\)と\(\dfrac{9}{4}\)の間に次の数は全部で何個ありますか。
(1) 整数
(2) 自然数
\(-\dfrac{8}{3}=-2.66…\)，\(\dfrac{9}{4}=2.25\)なので，\(-3<\)\(-\dfrac{8}{3}<-2, -1, 0, 1, 2<\dfrac{9}{4}<3\)です。
(1) \(-2,-1,0,1,2\)が整数なので\(\mathbf{5}\)個。
(2) 自然数は正の整数なので，\(1,2\)の\(\mathbf{2}\)個。
次のア～クの数について，次の数をすべて選びましょう。
ア\(-4\) イ\(0.9\) ウ\(5\) エ\(-\dfrac{1}{2}\) オ\(0\) カ\(+7\) キ\(-3.5\) ク\(+\dfrac{5}{3}\)
（1）正の数
（2）負の数
（3）整数
（4）自然数
（5）もっとも大きい数
（6）もっとも小さい数
（7）もっとも小さい正の数
（8）もっとも大きい負の数
(1) イ，ウ，カ，ク
(2) ア，エ，キ
(3) ア，ウ，オ，カ
(4) ウ，カ
(5) カ
(6) ア
(7) イ
(8) エ
数というのは，前の符号と一心同体の関係にあります。
例えば，\(-3+7-9\)であれば，\(-3,+7,-9\)のように見なければなりません。また，正の数・負の数の加減の計算では，次の２つのルールに従って計算をします。
ルール１ 同じ符号同士の計算は，符号をつけて加法
例えば，\(-3-9=-(3+9)=-12\)のように\(-3\)と\(-9\)は同じ符号なので，まとめられます。
ルール２ 異なる符号同士の計算は，絶対値が大きい方の符号をつけて減法
絶対値とは符号をとった数のことです。
例えば，\(-9\)の絶対値は\(9\)ということになります。
\(3-9=-(9-3)=-6\)の場合，次のように考えています。
\(3\)と\(-9\)では\(-9\)の方が絶対値が大きいので，符号は\(-\)になります。
次に絶対値が大きい数から小さい数をひきます。
あとは，符号と数を合体させると答えになります。
次の計算をしなさい。
(1) \(-2-5\)
(2) \(-3+2\)
(3) \(6-11\)
(4) \(-2-3-4\)
(5) \(2-3+4\)
(6) \(-2+3-4+5\)
(7) \(-7+11-9-8+13\)
(8) \(15-22-5+13-15\)
(9) \(-19-12-18+15+21-33\)
(10) \(12+21-15-17-22+8\)
正負の数の計算は，ルール１とルール２を繰り返し使うことで確実に答えを求められます。
(1) \(-(2+5)=7\)
(2) \(-(3-2)=-1\)
(3) \(-(11-6)=-5\)
(4) \(-(2+3+4)=-9\)
(5) \(+(2+4)-3=+6-3=3\)
(6) \(+(3+5)-(2+4)=+8-6=2\)
(7) \(+(11+13)-(7+9+8)=+24-24=0\)
(8) \(+(15+13)-(22+5+15)=+28-42=-(42-28)=-14\)
(9) \(+(15+21)-(19+12+18+33)=+36-82=-(82-36)=-46\)
(10) \(+(12+21+8)-(15+17+22)=+41-54=-(54-41)=-13\)
( )がある場合，( )を外してから計算しなければなりません。
( )は次の2つのルールで外すことができます。
ルール1 ( )の前と中の符号が同じときは＋にする
例えば，\(+(+3)=+3, -(-3)=+3\)のようにします。
ルール2 ( )の前と中の符号が異なるときは－にする
例えば，\(+(-3)=-3, -(+3)=-3\)のようにします。
※（ ）の前に何もないときは，＋がかくれていると思って下さい。
例えば，\((+3)=+(+3)=+3, (-3)=+(-3)=-3\)のようになります。
次の計算をしなさい。
(1) \((-3)-(-7)\)
(2) \((+5)+(-9)\)
(3) \((-6)-(+1)\)
(4) \(-(-2)+(-5)-(+3)\)
(5) \((+3)-(-8)+(-2)\)
(6) \((-1)+(+8)-(+3)-(-10)\)
(7) \((+7)-(-6)+(-8)-(+2)+(+3)\)
(8) \((-8)+(+9)-(+3)+(-1)-(-5)\)
(9) \((+6)+(-9)-(+3)-(-11)+(+6)\)
(10) \((-6)+(+3)-(+5)-(-8)+(-1)\)
(1) \(-3+7=+(7-3)=4\)
(2) \(+5-9-(9-5)=-4\)
(3) \(-6-1=-(6+1)=-7\)
(4) \(+2-5-3=+2-(5+3)=2-8=-(8-2)=-6\)
(5) \(+3+8-2=+(3+8)-2=+11-2=9\)
(6) \(-1+8-3+10=+(8+10)-(1+3)=18-4=14\)
(7) \(+7+6-8-2+3=+(7+6+3)-(8+2)=16-10=6\)
(8) \(-8+9-3-1+5=+(9+5)-(8+3+1)=14-12=2\)
(9) \(+6-9-3+11+6=+(6+11+6)-(9+3)=+23-12=11\)
(10) \(-6+3-5+8-13=+(3+8)-(6+5+13)=+11-24=-13\)
整数の乗除の計算は分数を利用することで簡単にすることができます。
例えば，\(12÷36×14÷35=\dfrac{12×14}{36×35}=\dfrac{2}{15}\)のようにできます。数は前の符号と一心同体だと書きましたが，この問題の場合，\(12, ÷36, ×14, ÷35\)のように分かれることになります。
割算（除法）は分母でかけ算，それ以外は分子でかけ算をすることができるので，覚えておくと非常に便利です。
また，－の乗除を２回繰り返すと＋になります。
例えば，\(-24÷(-8)=+3, -8×(-3)=+24\)のようになります。
つまり，(－)を偶数回乗除すると(＋)になることが分かります。
次の計算をしなさい。
(1) \(-2×(+3)\)
(2) \(-3×(-7)\)
(3) \(28÷(-7)\)
(4) \(-56÷(-7)\)
(5) \(-8×(-9)÷(-6)\)
(6) \(-14÷(-2)×6\)
(7) \(5÷(-3)÷(-2)×(-12)\)
(8) \(-10×(-18)÷(-5)÷(-9)\)
(9) \(12÷(-9)÷(-7)×(-14)÷(-2)\)
(10) \((-24)×(+18)÷(-6)÷(+4)÷(-3)\)
(1) \(-2×3=-6\)
(2) \(+3×7=21\)
(3) \(-28÷7=-4\)
(4) \(+56÷7=8\)
(5) \(-\dfrac{8×9}{6}=-12\)
(6) \(+\dfrac{14×6}{2}=42\)
(7) \(-\dfrac{5×12}{3×2}=-10\)
(8) \(+\dfrac{10×18}{5×9}=4\)
(9) \(+\dfrac{12×14}{9×7×2}=\dfrac{4}{3}\)
(10) \(-\dfrac{24×18}{6×4×3}=-6\)
\(a×a×a×a…×a=a^n\)と表し，右上の\(n\)は指数といい，\(a\)を\(n\)回かけることを表しています。
累乗とは，同じ数を複数回かけることです。例えば，\(5^3\)は5を3回かけることを表し，右上の小さい数字を指数といいます。
ですので，\(5^3=5×5×5=125\)になります。
指数の数だけ同じ数をかけるということですが，2点だけ注意しましょう。
注意点① マイナスの数を累乗する場合
\((-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8\)のように，負の数の累乗は（ ）が必要です。
注意点② 分数を累乗する場合
\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{27}{8}\)のように，分数の累乗は（ ）が必要です。
次の計算をしなさい。
(1) \(3^2\)
(2) \((-3)^2\)
(3) \(-3^2\)
(4) \(-(-3)^2\)
(5) \(\left(\dfrac{2}{3}\right)\)
(6) \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3\)
(7) \(\dfrac{3^2}{2}\)
(8) \(\dfrac{3}{2^3}\)
(9) \(-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2\)
(10) \(-\left(-\dfrac{3}{4}\right)^3\)
(1) \(3×3=9\)
(2) \((-3)×(-3)=9\)
(3) \(-3×3=-9)\)
(4) \(-(-3)×(-3)=-9\)
(5) \(\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}\)
(6) \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)×\left(-\dfrac{2}{3}\right)×\left(-\dfrac{2}{3}\right)=-\dfrac{8}{27}\)
(7) \(\dfrac{3×3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
(8) \(\dfrac{3}{2×2×2}=\dfrac{3}{8}\)
(9) \(-\left(-\dfrac{3}{5}\right)×\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\dfrac{9}{25}\)
(10)\(-\left(-\dfrac{3}{4}\right)×\left(-\dfrac{3}{4}\right)×\left(-\dfrac{3}{4}\right)=\dfrac{27}{64}\)
計算の順序は守らなければなりません。
四則混合計算では次の順序で計算をしていきます。
順序① （ ）の中が計算できるときは優先的にする
順序② 累乗があるときは，累乗計算を優先する
順序③ 乗除の計算をする
順序④ 加減の計算をする
次の計算をしなさい。
(1) \(-2+(-3)×4\)
(2) \(12÷(-3)-5×(-2)\)
(3) \(1-(-3)^2÷(-2)^3\)
(4) \(2^3×(-1)^3+(-4)^2÷(-2)^3\)
(5) \(7-{2-(-1)×(-3)}\)
(6) \(5+{(-3)×4+(-24)÷(-8)}\)
(7) \(5+{(-1)^2×(-2)^3-(+6)}\)
(8) \(-18÷{(-3)^2-(-2)^2+(-1)^2}\)
(1) \(-2-12=-(2+12)=-14\)
(2) \(-4+10=+(10-4)=6\)
(3) \(1-9÷(-8)=1+\dfrac{9}{8}=\dfrac{17}{8}\)
(4) \(8×(-1)+16÷(-8)=-8-2=-(8+2)=-10\)
(5) \(7-(2-3)=7-(-1)=7+1=8\)
(6) \(5+(-12+3)=5+(-9)=5-9=-(9-5)=-4\)
(7) \(5+{1×(-8)-6}=5+(-8-6)=5-14=-9\)
(8) \(-18÷(9-4+1)=-18÷6=-3\)
倍数の性質を知っておくと，約分するときに役立ちます。何度も約分をすると，間違いのもとになるので，なるべく少ない回数で約分しましょう。また，これ以上約分できるのかどうなのかを確かめる方法としても知っておくと便利です。
■Ｎの倍数の性質
① 2の倍数…下一桁の数が2の倍数．
[例：12，26，
54，70，88]
② 3の倍数…各位の和が3の倍数．
[例：12，21，54，75，126]
③ 4の倍数…下二桁の数が4の倍数．
[例：84，120，236，488，516]
④ 5の倍数…下一桁の数が5の倍数．（0か5）
[例：85，120，165，230，385]
⑤ 9の倍数…各位の和が9の倍数．
[例：81，162，234，396，441]
⑥ 25の倍数…下二桁の数が25の倍数．（00か25か50か75）
[例：75，125，250，300]
■合成倍数について
① 6の倍数…2の倍数と3の倍数の共通部分を探す．
[例：84，132，372，456，534]
② 15の倍数…3の倍数と5の倍数の共通部分を探す．
[例：45，75，105，135，225]
次の値を既約分数で答えなさい。
※既約分数とは，それ以上約分できない分数です。
\(\begin{array}{lllll}
(1)\dfrac{14}{30} &(2)\dfrac{21}{51} &(3)\dfrac{28}{116} &(4)\dfrac{70}{95} &(5)\dfrac{81}{117}\\
(6)\dfrac{75}{125}&(7)\dfrac{132}{78}&(8)\dfrac{105}{75}&(9)\dfrac{110}{60}&(10)\dfrac{108}{360}
\end{array}\)
(1)14と30は下一桁の数が2の倍数なので \(\dfrac{7}{15}\)
(2)21と51は各位の和が3の倍数なので\(\dfrac{7}{17}\)
(3)28と116は下二桁の数が4の倍数なので\(\dfrac{7}{29}\)
(4)70と95は下一桁の数が5の倍数なので\(\dfrac{14}{19}\)
(5)81と117は各位の和が9の倍数なので\(\dfrac{9}{13}\)
(6)75と125は下二桁が25の倍数なので\(\dfrac{3}{5}\)
(7)132と78は下一桁の数が2の倍数で，各位の和が3の倍数なので6の倍数なので\(\dfrac{22}{13}\)
(8)105と75は各位の和が3の倍数で，下一桁の数が5の倍数なので15の倍数なので\(\dfrac{7}{5}\)
(9)110と60は下一桁の数が2の倍数で，下一桁の数が5の倍数なので10の倍数なので\(\dfrac{11}{6}\)
(10)108と360は各位の和が9の倍数で，下二桁が4の倍数なので36の倍数なので\(\dfrac{3}{10}\)
最小公倍数とは，それぞれの数の公倍数の共通する最も小さい数のことです。ですので，頭の中で求めることができるというのが最もよい方法です。例えば，4と6の場合を考えてみましょう。
4の倍数は4，8，12，16，20，24，…。6の倍数は6，12，18，…ですので12が最小公倍数です。
では，16と12ではどうでしょう。少し難しいですね。
頭の中で求められないときは，\(\begin{array}{cc}2)&16,12\\ \hline2)&8,6\\ \hline&4,3\\ \end{array}\)のように共通した数で割っていきます。
この方法を連除法といい，外に出た数を全てかけると最小公倍数になります。\(2×2×4×3＝48\)とします。
次の値の最小公倍数を求めなさい。
(1) 2と3
(2) 16と4
(3) 7と5
(4) 12と21
(5) 8と20
(6) 18と24
(7) 15と12
(8) 72と36
(9) 2と3と4
(10) 12と15と24
(1)6
(2)16
(3)35
(4)
\(\begin{array}{cc}3)&12,21\\ \hline&4,7 \end{array}\) \(3×4×7=84\)
(5)
\(\begin{array}{cc}2)&8,20\\ \hline2)&4,10\\ \hline&3,4\\ \end{array}\) \(2×2×3×4=48\)
(6)
\(\begin{array}{cc}2)&18,24\\ \hline3)&9,12\\ \hline&3,4\\ \end{array}\) \(2×3×3×4=72\)
(7)
\(\begin{array}{cc}3)&15,12\\ \hline&5,4 \end{array}\) \(3×5×4=60\)
(8)
\(\begin{array}{cc}2)&72,36\\ \hline2)&36,18\\ \hline3)&18,9\\ \hline3)&6,3\\ \hline&2,1 \end{array}\) \(2×2×3×3×2×1=72\)
(9)
\(\begin{array}{cc}2)&2,3,4\\ \hline&1,3,2 \end{array}\) \(2×1×3×2=12\)
(10)
\(\begin{array}{cc}2)&12,15,24\\ \hline2)&6,15,12\\ \hline3)&3,15,6\\ \hline&1,5,2 \end{array}\) \(2×2×3×1×5×2=120\)
分数の加減は，分母をそろえて計算します。
次の計算をしなさい。
(1) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}\)
(2) \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2}\)
(3) \(\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{4}\)
(4) \(\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{21}\)
(5) \(5-\dfrac{2}{5}\)
(6) \(\dfrac{3}{4}+1\)
(7) \(\dfrac{5}{12}+\dfrac{3}{8}\)
(8) \(\dfrac{11}{15}+\dfrac{5}{12}\)
(9) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}\)
(10) \(\dfrac{7}{8}-\dfrac{4}{5}+2\)
(1) 2と3の最小公倍数は6なので，分母を6にします。
\(\dfrac{1×3}{2×3}+\dfrac{2×2}{3×2}=\dfrac{3+4}{6}=\dfrac{7}{6}\)
(2) 4と2の最小公倍数は4なので，分母を4にします。
\(\dfrac{3×1}{4×1}-\dfrac{1×2}{2×2}=\dfrac{3-2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
(3) 3と4の最小公倍数は12なので，分母を12にします。
\(\dfrac{7×4}{3×4}-\dfrac{5×3}{4×3}=\dfrac{28-15}{12}=\dfrac{13}{12}\)
(4) 7と21の最小公倍数は21なので，分母を21にします。
\(\dfrac{3×3}{7×3}+\dfrac{2×1}{21×1}=\dfrac{9+2}{21}=\dfrac{11}{21}\)
(5) \(2=\dfrac{2}{1}\)とします。
1と5の最小公倍数は5なので，分母を5にします。
\(\dfrac{5×5}{1×5}-\dfrac{2×1}{5×1}=\dfrac{25-2}{5}=\dfrac{23}{5}\)
(6) \(1=\dfrac{1}{1}\)とします。
4と1の最小公倍数は4なので，分母を4にします。
\(\dfrac{3×1}{4×1}+\dfrac{1×4}{1×4}=\dfrac{3+4}{4}=\dfrac{7}{4}\)
(7) 12と8の最小公倍数は24なので，分母を24にします。
\(\dfrac{5×2}{12×2}+\dfrac{3×3}{8×3}=\dfrac{10+9}{24}=\dfrac{19}{24}\)
(8) 15と12の最小公倍数は60なので，分母を60にします。
\(\dfrac{11×4}{15×4}-\dfrac{5×5}{12×5}=\dfrac{44-25}{60}=\dfrac{19}{60}\)
(9) 2と3と4の最小公倍数は12なので，分母を12にします。
\(\dfrac{1×6}{2×6}+\dfrac{2×4}{3×4}-\dfrac{3×3}{4×3}=\dfrac{6+8-9}{12}=\dfrac{5}{12}\)
(10) \(3=\dfrac{3}{1}\)とします。
8と5と1の最小公倍数は40なので，分母を40にします。
\(\dfrac{7×5}{8×5}-\dfrac{4×8}{5×8}+\dfrac{2×40}{1×40}=\dfrac{35-32+80}{40}=\dfrac{83}{40}\)
計算は順序を守らなければなりません。
四則混合計算では次の順序で計算をしていきます。
順序① （ ）の中が計算できるときは優先的にする
順序② 累乗があるときは，累乗計算を優先する
順序③ 乗除の計算をする
順序④ 加減の計算をする
約分がポイントになるので，工夫しながら計算をしましょう。
次の計算をしなさい。
(1) \(-4+5÷\left(-\dfrac{1}{6}\right)\)
(2) \(6-4÷\dfrac{2}{5}\)
(3) \(\dfrac{8}{3}+\dfrac{1}{2}×(-3)\)
(4) \(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{7}÷3\)
(5) \(-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)÷15\)
(6) \(\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{8}{9}\right)×\dfrac{27}{16}\)
(7) \(-\dfrac{24}{35}÷\dfrac{8}{25}+\left(-\dfrac{16}{9}\right)×\left(-\dfrac{27}{64}\right)\)
(8) \((-2)^2×\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}\)
(9) \(\dfrac{3}{2}-(-3)^2×\dfrac{7}{12}\)
(10) \(-3+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2÷\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3\)
(1) \(-4+5×(-6)=-4-30=-34\)
(2) \(6-4×\dfrac{5}{2}=6-10=-4\)
(3) \(\dfrac{8}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{16}{6}-\dfrac{9}{6}=\dfrac{7}{6}\)
(4) \(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{6}{7}×\dfrac{1}{3}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{7}=-\dfrac{7}{14}+\dfrac{4}{14}=-\dfrac{3}{14}\)
(5) \(-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{5}{2}\right)×\dfrac{1}{15}=-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2}\)
(6) \(\dfrac{3}{4}-\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}\)
(7) \(-\dfrac{24}{35}×\dfrac{25}{8}+\left(-\dfrac{16}{9}\right)×\left(-\dfrac{27}{64}\right)=-\dfrac{39}{28}\)
(8) \(4×\dfrac{5}{6}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{10}{3}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{31}{12}\)
(9) \(\dfrac{3}{2}-9×\dfrac{7}{12}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{21}{4}=-\dfrac{15}{4}\)
(10) \(-3+\dfrac{16}{81}÷\left(-\dfrac{8}{27}\right)=-3+\dfrac{16}{81}×\left(-\dfrac{27}{8}\right)=-3-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{11}{3}\)
分配法則を利用した問題と，その逆の性質を利用した問題です。
（〇＋□）×△＝〇×△＋□×△□であれば，〇×△＋□×△＝（〇＋□）×△□も成り立ちます。
この関係は，面積を利用して説明することができます。
図のように，縦7cm，横10cmの長方形の面積を求めようと思います。
数学の学習で超重要単元ですので，完全にマスターしましょう。
分配法則を利用して，次の計算をしなさい。
(1) \(\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{7}{8}\right)×24\)
(2) \(20×\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5}\right)\)
(3) \(\left(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\right)×(-12)\)
(4) \(\left(\dfrac{7}{4}-\dfrac{35}{2}\right)÷\dfrac{7}{4}\)
(5) \(\left(-\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{6}\right)÷\left(-\dfrac{1}{6}\right)\)
(6) \(48×(-7)+52×(-7)\)
(7) \(8×(-31)+8×(-49)\)
(8) \(7×3.14-12×3.14\)
(1) \(\dfrac{5}{6}×24-\dfrac{7}{8}×24=20-21=-1\)
(2) \(20×\dfrac{1}{2}+20×\left(-\dfrac{4}{5}\right)=10-16=-6\)
(3) \(-\dfrac{1}{4}×(-12)+\dfrac{2}{3}×(-12)=3-8=-5\)
(4) \(\left(\dfrac{7}{4}-\dfrac{35}{2}\right)×\dfrac{4}{7}=\dfrac{7}{4}×\dfrac{4}{7}-\dfrac{35}{2}×\dfrac{4}{7}=1-10=-9\)
(5) \(\left(-\dfrac{8}{3}+\dfrac{5}{6}\right)×(-6)=-\dfrac{8}{3}×(-6)+\dfrac{5}{6}×(-6)=16-5=11\)
(6) \((48+52)×(-7)=100×(-7)=-700\)
(7) \((-31-49)×8=-80×8=-640\)
(8) \((7-12)×3.14=-5×3.14=-15.7\)
基準との差の問題の攻略法は，基準を0として表をかきなおすことです。基準を0とすることで，比較する対象が分かりやすくなります。
表は，あるパン屋で生産したパンの個数が前日より何個多かったのかを正負の数で表したものである。次の問いに答えなさい。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline曜日&月&火&水&木&金\\ \hline差（個）&/&-800&+1300&-200&-500\\ \hline \end{array}
(1) 月曜日の個数が2600個のとき，金曜日の個数を求めよ。
(2) 木曜日の個数が3000個のとき，火曜日の個数を求めよ。
(3) 個数がもっとも多かったのは何曜日か。
月曜日を基準として月曜日との差を整理すると次の表のようになります。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline曜日&月&火&水&木&金\\ \hline差（個）&0&-800&+500&+300&-200\\ \hline \end{array}
(1) 金曜日は月曜日より200個少ないことから，金曜日は，2600－200＝2400(個)
(2) 月曜日は3000－300＝2700(個)なので，火曜日は2700－800＝1900(個)
(3) 表より水曜日
表は，ある動物園の入園者が前日より何人多かったかを正負の数で表したものである。次の問いに答えなさい。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline曜日&日&月&火&水&木&金&土\\ \hline差（人）&/&-18&+9&-6&+28&-7&ア\\ \hline \end{array}
(1) 日曜日の入園者が253人のとき，金曜日の入園者を求めよ。
(2) 日曜日から金曜日までで，入園者がもっとも多かった日ともっとも少なかった日の差は何人か。
(3) 火曜日の入園者が220人，土曜日の入園者が240人のとき，表のアにあてはまる数を求めよ。
日曜日との差に整理すると表のようになります。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline曜日&日&月&火&水&木&金\\ \hline差（人）&0&-18&-9&-15&+13&+6\\ \hline \end{array} (1) 金曜日は日曜日より6人多いことから，金曜日の入園者は253＋6＝259(人)
(2) 入園者がもっとも多かったのは木曜日，もっとも少なかったのは月曜日で，その差は(＋13)－(－18)＝31(人)
※差を求めるには大きい数から小さい数を引きましょう。
(3) 金曜日は火曜日より(＋6)－(－9)＝15(人)多いから，金曜日の入園者は220＋15＝235(人)
土曜日は金曜日よりも240－235＝５(人)多いことから，表のアにあてはまる数は＋5。
基本的な問題ですが，基準を0とした表をかかなければ厄介な問題になります。前日との差が問題文で与えられている場合は，必ず表をかき直すことを覚えておきましょう。
平均＝基準値＋（基準との差の平均）を利用します。
表は，Ａ～Ｅの5人のテストの得点が基準点より何点高いのかを正負の数で表したものである。次の問いに答えよ。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline生徒&A&B&C&D&E\\ \hline差（点）&+5&-13&0&-1&+3\\ \hline \end{array}
(1) もっとも得点が高い人は，もっとも得点が低い人より何点高いか。
(2) 基準点が80点のとき，この5人の得点の平均を求めよ。
(1) もっとも得点が高いＡと，もっとも得点が低いＢとの差は(＋5)－(－13)＝18(点)
(2) 実際の得点を求めて平均を求めても構いませんが，計算がかなり面倒です。
そこで，「差の平均」を求め，実際の得点の平均が基準点より高いのか低いのかを考えます。
\(80+\dfrac{(+5)+(-13)+0+(-1)+(+3)}{5}=78.8\)点
A～Ｄの4人のゲームの得点について，Ｄの得点より高いものはその差を正の数で，低いものはその差を負の数で表し表にまとめました。次の問いに答えよ。
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline生徒&A&B&C&D\\ \hline差（点）&-3&+11&ア&0\\ \hline \end{array}
(1) Ａの得点が72点，Ｃの得点が67点のとき，表のアにあてはまる数を求めよ。
(2) Ｄの得点が74点で，Ａ～Ｄの4人の得点の平均が72.5点だった。このとき，表のアにあてはまる数を求めよ。
(1) 67－72＝－5(点)，ＣはＡより5点低いので，表のアは－3－5＝－8
(2) 差の平均は，72.5－74＝－1.5(点)ですので，｛(－3)＋(＋11)＋ア＋0｝÷4＝－1.5となればよいので，これを解いて，ア＝－14
基準との差の平均を考えなくても，この手の問題は解くことができます。
例えば，問題2（2）の場合，4人の合計得点は72.5×4＝290点。D＝74点より，A＝74－3＝71点，B＝74＋11＝85点となります。
つまり，C＝290－(71＋85＋74)＝60点となるので，Dとの差は74－60＝14点。よって，ア＝－14と考えることもできます。
答えは出ますが，かなり厄介ですね。
このように数を並べた表を，魔法陣とよぶことがあります。
縦，横，斜めに並ぶ3つの数の和がどれも等しくなるように，表の空欄にあてはまる数を答えなさい。
３つの数の和は，－2＋1＋4＝3となるので，
縦…ア＋1＋(－3)＝3より，ア＝5
横…オ＋(－3)＋4＝3より，オ＝2
横…－2＋ア＋イ＝3，－2＋5＋イ＝3より，イ＝0
縦…－2＋ウ＋オ＝3，－2＋ウ＋2＝3より，ウ＝3
横…ウ＋1＋エ＝3，3＋1＋エ＝3より，エ＝－1
よって，ア…5，イ…0，ウ…3，エ…－1，オ…2となります。
縦，横，斜めに並ぶ3つの数の積がどれも等しくなるように，表の空欄にあてはまる数を答えなさい。
［解答・解説］
３つの数の積は，－4×2×(－1)＝8となるので，
横…－8×ア×(－4)＝8
縦…－8×イ×(－1)＝8
横…イ×2×ウ＝8
縦…ア×2×エ＝8
横…－1×エ×オ＝8
なので，ア…\(\dfrac{1}{4}\)，イ…\(1\)，ウ…\(4\)，エ…\(16\)，オ…\(-\dfrac{1}{2}\)
自然数は大きく3つに分類することができます。
① １
② 素数
③ 合成数（中学生はこの言葉は習いませんが，便利なので覚えておきましょう。）
素数とは，正の約数が２つの自然数，合成数とは，素数の積で表すことができる自然数のことをいいます。
１～20までの数では次のようになります。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
太字が素数といわれるものです。すべて約数が2つであることを確認してください。
\(2→1,2\)
\(3→1,3\)
\(5→1,5\)
\(7→1,7\)
\(11→1,11\)
\(13→1,13\)
\(17→1,17\)
\(19→1,19\)
合成数は，すべて素数の積で表せます。
\(4=2^2\)
\(6=2×3\)
\(8=2^3\)
\(9=3^2\)
\(10=2×5\)
\(12=2^2×3\)
\(14=2×7\)
\(15=3×5\)
\(16=2^4\)
\(18=2×3^2\)
\(20=2^2×5\)
次の例題を解いてみましょう。
126を素数の積で表しなさい。
素因数分解をすると，\(2×3^2×7\)
\(\begin{array}{cc}2)&126\\ \hline3)&63\\ \hline3)&21\\ \hline&7 \end{array}\)
63にある自然数をかけて，ある数の2乗にしたい。何をかければよいか。
素因数分解をすると，\(3^2×7\)になります。あと\(7\)をかければ\((3×7)^2=21^2\)になります。なので，\(7\)が正解。
さて，100以下の素数を次の手順で探してみます。
① 2以外の2の倍数を消します。（2は素数だから）
② 3以外の3の倍数を消します。（3は素数だから）
③ 5以外の5の倍数を消します。（5は素数だから）
④ 7以外の7の倍数を消します。（7は素数だから）
次の素数は11ですが，\(11^2=121\)なので，調べる必要がありません。
よって，100以下の素数は,
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 の25個
※注意点は91です。素数に見えますが，7×13で合成数です。
次の問いに答えなさい。
（1）1から30までの自然数のうち，素数であるものをすべて答えよ。
（2）378を素因数分解して，素数の積で表しなさい。また，約数の個数を求めなさい。
（3）625はどんな自然数の平方か。
（4）784の約数の中から2つの約数の組\((a,b)\)をつくるとき，\(ab=784(a＜b)\)となるものは何組あるか。
（5）90にできるだけ小さい自然数をかけて，ある自然数の平方にしたい。どんな数をかければよいか。また，どんな自然数の平方になるか。
（6）168をできるだけ小さい自然数でわって，ある自然数の平方にした。どんな数でわればよいか。また，どんな自然数の平方になるか。
（7）\(\dfrac{200}{n}\)＝\((ある整数)^2\)の形になるような正の整数は何個あるか求めなさい。
（1）2，3，5，7，11，13，17，19，23，29
（2）素因数分解すると\(2×3^3×7\)になるので，
約数は｛1，2，3，6，7，9，14，18，21，27，42，54，63，126，189，378｝の16個
重要 約数の個数は次のようにして求めることもできます。
\(a^l×b^m×c^n…\) のとき，\((l+1)×(m+1)×(n+1)×…\)これにより，\((1+1)(3+1)(1+1)=16\)個
※中学校では習いませんが，覚えておくと非常に便利です。
\(a^m×b^m=(a×b)^m\)の関係を利用します。
例えば，\(3^2×4^2=(3×4)^2\)と計算することができます。
（4）\(784=2^4×7^2\)となることから，約数の個数は\((4+1)(2+1)=15\)個。1組は\(a=b\)となる組なので，\(a＜b\)となる組は，\((15-1)÷2=7\)組
（5）\(90=2×3^2×5\)であることから，\(2×5=10\)をかければよい。
また，\(2×3^2×5×10=(2×3×5)^2=30^2\)となることから30。
（6）\(168=2^2×2×3×7\)であることから，\(2×3×7=42\)でわればよいので42。
また，\(168÷42=4=2^2\)より2。
（7）\(200=2×2^2×5^2\)であることから，｛\(2\)，\(2×2^2\)，\(2×5^2\)，\(2×2^2×5^2\)｝の4つ。
1から150までの自然数をかけてできた数を\(P\)とする。
(1) \(P\)を素因数分解して，\(P=2^m×2^n×……\)の形に表すとき，\(m\)の値はいくらか。
(2) \(P\)は末尾に何個の0がつくか。
(1) 2をかけた回数を答えたらよいので，\(2^1\)の倍数は75回，\(2^2\)の倍数は37回，\(2^3\)の倍数は18回，\(2^4\)の倍数は9回，\(2^5\)の倍数は4回，\(2^6\)の倍数は2回，\(2^7\)の倍数は1回となり，\(75+37+18+9+4+2+1=146\)となり，\(m=146\)。
② 0は2×5＝10で作ることができる，2と5の数を数えればよい。しかし，明らかに5の方が少ないことから，5がかけてある回数を数えるとよいことになります。
\(5^1\)の倍数は30回，\(5^2\)の倍数は6回，\(5^3\)の倍数は1回となり，末尾に0は\(30+6+1＝37\)個。
この単元は「正負の数」をマスターしてから取り組みましょう。
分配法則と分数の計算がカギを握る単元です。分配法則と分数の計算は素早く正確にできるように練習が必要です。
文字式の基本計算12パターンでは，基本的な問題から間違いやすい問題を収録していますので，何度も練習してください。間違えやすい問題は番号を青くしていますので，何度も解き直して絶対に間違わないように訓練してください。
基本的な解法は、「文字」と「数字」をそれぞれ別々に計算します。
次の計算をしなさい。
(1) \(4a-3-7a+5\)
(2) \(2-\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{4}x-\dfrac{4}{5}\)
(3) \((-6x)×(-2)\)
(4) \((-10y-7)÷(-5)\)
(5) \(24x×\left(-\dfrac{3}{8}\right)\)
(6) \((8p-18)÷\left(-\dfrac{2}{3}\right)\)
(7) \(2(x-4)-(3-5x)\)
(8) \((a+2)-12\left(\dfrac{a}{2}+\dfrac{5}{6}\right)\)
(9) \(\dfrac{2}{3}(6m-1)-\dfrac{3}{2}(4-m)\)
(10) \(12\left(\dfrac{x-7}{4}-\dfrac{1-2x}{3}\right)\)
(11) \(\dfrac{3x-1}{2}+\dfrac{4-x}{3}\)
(12) \(a-3-\dfrac{2a-4}{3}\)
(1) \((4-7)a+(-3+5)=-3a+2\)
(2) \(\left(-\dfrac{1}{3}\right)x+\left(2-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{5}{12}x+\dfrac{6}{5}\)
(3) \((-6×2)x=-12x\)
(4) \(\dfrac{-10y}{-5}+\dfrac{-7}{-5}=2y+\dfrac{7}{5}\)
(5) \(24×\left(-\dfrac{3}{8}\right)x=-9x\)
(6) \((8p-18)×\left(-\dfrac{3}{2}\right)=8p×\left(-\dfrac{3}{2}\right)-18×\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-12p+27\)
(7) \(2x-8-3+5x=7x-11\)
(8) \(a+2-12×\dfrac{a}{12}-12×\dfrac{5}{6}=a+2-6a-10=-5a-8\)
(9) \(\dfrac{2×2(6m-1)}{6}-\dfrac{3×3(4-m)}{6}=\dfrac{4(6m-1)-9(4-m)}{6}=\dfrac{33m-40}{6}\)
(10) \(12×\dfrac{x-7}{4}-12×\dfrac{1-2x}{3}=3(x-7)-4(1-2x)=11x-25\)
(11) \(\dfrac{3(3x-1)}{6}+\dfrac{2(4-x)}{6}=\dfrac{3(3x-1)+2(4-x)}{6}=\dfrac{7x+5}{6}\)
(12) \(\dfrac{3(a-3)}{3}-\dfrac{2a-4}{3}=\dfrac{3(a-3)-(2a-4)}{3}=\dfrac{a-5}{3}\)
次の数量を式で表しなさい。
(1) \(a(m)\)のテープを7人に分けたときの1人分
(2) \(x\)でわると商が\(a\)で余りが5となる数
(3) \(n\)を整数とするとき，
① 偶数 ② 奇数 ③ 3の倍数 ④ 7の倍数
(4) \(x\)を整数とするとき，
① 連続する3つの整数 ② 連続する3つの偶数 ③ 連続する3つの奇数
④ 連続する3つの3の倍数
(5) 十の位の数字が\(x\)，一の位の数字が\(y\)である2桁の自然数
(6) 百の位の数字が\(a\), 十の位の数字が\(b\), 一の位の数字が\(c\)である2桁の自然数
(7) 1個\(a\)円の消しゴムを\(x\)個買って，1000円札を1枚出したときのおつり
(8) 1本120円のジュース\(m\)本と1個300円のケーキ\(n\)個を買ったときの代金の合計
(9) 身長が\(a\)(cm),\(b\)(cm),\(c\)(cm)の3人がいるとき，この3人の身長の平均
(10) 男子15人の体重の平均が\(x\)g, 女子14人の体重の平均が\(y\)kgのとき，全員の体重の平均
(11) \(x(kg)\)と\(y(g)\)の和は何\(g\)か。
(12) \(xcm\)と\(ycm\)の和は何\(m\)か。
(13) 次の図形の面積を求めよ。
① 底辺\(a\)が，高さが\(b\)の三角形
② 上底が\(a\)，下底が\(b\)，高さが\(h\)の台形
③ 半径が\(r\)の円
(14) \(a\)人の\(p\%\)
(15) \(xkm\)を\(y\)時間で走ったときの時速
(1) \(a÷7=\dfrac{a}{7}(m)\)
(2) \(x×a+5=ax+5\)
※例えば，4でわると商が7で余りが1の数は，\(4×7+1=29\)になります。
(3)①\(2n\) ②\(2n+1\) ③\(3n\) ➃\(7n\)
※ ①偶数は2の倍数のことなので，\(2×n\)と考えます。 ②奇数は偶数より1大きい，または，1小さいと考えます。 ③3の倍数は，\(3×n\)表せます。 ④7の倍数とは，\(7×n\)で表せます。
(4)①\(x, x+1,x+2\)
②\(2x-2,2x,2x+2\)
③\(2x-1,2x+1,2x+3\)
➃\(3x-3,3x,3x+3\)
(5) \(10x+y\)
※例えば47の場合，\(10×4+1×7＝47\)。この場合，\(10×x+1×y=10x+y\)になります。
(6) \(100a+10b+c\)
※(5)と同様に考えます。\(100×a+10×b+1×c\)になります。
(7) \(1000-ax\)(円)
※1個\(a\)円の消しゴムを\(x\)個買うと，\(ax\)(円)です。
(8) \(120m+300n\)(円)
※120円のジュース\(m\)本買うと\(120m\)(円)，300円のケーキ\(n\)個買うと\(300n\)(円)です。
(9) \(\dfrac{a+b+c}{3}(cm)\)
※平均＝\(\dfrac{全体の数（身長の合計）}{個数（人数）}\)を利用します。
(10) \(\dfrac{15x+14y}{29}(g)\)
※男子の体重の合計は\(15x(g)\)，女子の体重の合計は\(14y(g)\)になります。
(11) \(1000x+y(g)\)
※単位を\(g\)にそろえます。\(1kg=1000g\)です。
(12) \(\dfrac{x}{100}+y(m)\)
※単位を\(m\)にそろえます。\(1m=100cm\)です。
(13)①\(a×b÷2=\dfrac{ab}{2}\)
※三角形の面積＝底辺×高さ÷2です。
②\((a+b)×h÷2=\dfrac{(a+b)h}{2}\)
※台形の面積＝（上底+下底）×高さ÷2です。
③\(π×r^2=πr^2\)
※円の面積＝\(π×半径^2\)です。
(14) \(a×\dfrac{p}{100}=\dfrac{ap}{100}\)(人)
※\(p\%=\dfrac{p}{100}\)です。
(15) \(x÷y=\dfrac{x}{y}\)より，時速\(\dfrac{x}{y}km\)
※距離＝速さ×時間を利用します。
方程式で利用する文字式をのせています。割合や速さの問題ではよく使うものですので，必ずマスターしておきましょう。
１元１次方程式計算問題 厳選１６問
この単元は「文字式の計算」をマスターしてから取り組みましょう。
方程式の計算には大きなステップが３つあります。
Step１ 両辺を整数の式にする
式に分数や小数がある場合，整数の式にしてから解きます。
Step２ 移項を利用する
求める文字を左辺，それ以外を右辺に移して解きます。
項が＝をまたぐことによって項の正負が逆になります。
Step３ 逆数をかける
\(\dfrac{2}{3}x=8\)の場合，\(x=8×\dfrac{3}{2}=12\)のように逆数をかけて計算します。
次の方程式を解きなさい。
(1) \(x+6=4\)
(2) \(x-4=-5\)
(3) \(7x=35\)
(4) \(-3x=10\)
(5) \(\dfrac{3}{2}x=-12\)
(6) \(-\dfrac{2}{5}x=-\dfrac{8}{15}\)
(7) \(3x+5=2x\)
(8) \(5x-3=7x+9\)
(9) \(3(x-5)=1-x\)
(10) \(6(x-8)-(4-x)=-3\)
(11) \(0.2x-0.3=0.5x+0.9\)
(12) \(0.13x+0.4=2.2-0.17x\)
(13) \(0.05(3x-8)=0.18x-0.13\)
(14) \(\dfrac{1}{3}x=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{5}{6}\)
(15) \(\dfrac{1}{3}(2x-4)=\dfrac{2}{7}(3x-2)\)
(16) \(\dfrac{2x+5}{3}-\dfrac{4x+2}{5}=1\)
(1) \(x=4-6=-2\)
(2) \(x=-5+4=-1\)
(3) \(x=35×\dfrac{1}{7}=5\)
(4) \(x=10×\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{10}{3}\)
(5) \(x=-12×\dfrac{2}{3}=-8\)
(6) \(x=-\dfrac{8}{15}×\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{4}{3}\)
(7) \(3x-2x=-5\)
\(x=-5\)
(8) \(5x-7x=9+3\)
\(x=-6\)
(9) 分配法則を利用します。
\(3x-15=1-x\)
\(3x+x=1+15\)
\(x=4\)
(10) 分配法則を利用します。
\(6x-48-4+x=-3\)
\(6x+x=-3+48+4\)
\(x=7\)
(11) 両辺を10倍します。
\(2x-3=5x+9\)
\(2x-5x=9+3\)
\(x=-4\)
(12) 両辺を100倍します。
\(13x+40=220-17x\)
\(13x+17x=220-40\)
\(x=6\)
(13) 両辺を100倍します。
\(0.05(3x-8)×100=0.18x×100-0.13×100\)
\(5(3x-8)=18x-13\)
\(x=-9\)
(14) 両辺を12倍します。
\(\dfrac{1}{3}x×12=\dfrac{1}{4}x×12+\dfrac{5}{6}×12\)
\(4x=3x+10\)
\(x=10\)
(15) 両辺を21倍します。
\(\dfrac{1}{3}(2x-4)×21=\dfrac{2}{7}(3x-2)×21\)
\(7(2x-4)=6(3x-2)\)
\(14x-28=18x-12\)
\(-4x=16\)
\(x=-4\)
(16) 両辺を15倍します。
\(\dfrac{2x+5}{3}×15-\dfrac{4x+2}{5}×15=1×15\)
\(5(2x+5)-3(4x+2)=15\)
\(10x+25-12x-6=15\)
\(-2x=-4\)
\(x=2\)
比の値と比例式
比の値 比\(a:b\)について\(a÷b\)で求まる値\(\dfrac{a}{b}\)を比の値といいます。
比例式 \(a:b=c:d\)の形の式を比例式といい，\(ad=bc\)が成り立ちます。
次の比例式を解きなさい。
(1) \(x:10=3:2\)
(2) \(9:4=x:8\)
(3) \(12:15=x:45\)
(4) \(16:x=800:600\)
(5) \(4:\dfrac{x}{3}=5:\dfrac{7}{2}\)
(6) \(2:3=x+3:12-x\)
(1) \(2x=30\)より\(x=15\)
(2) \(4x=72\)より\(x=18\)
(3) \(12:15=4:5\)とします。\(4:5=x:45\)を解いて\(x=36\)
(4) \(800:600=4:3\)とします。\(16:x=4:3\)を解いて\(x=12\)
(5) \(\dfrac{5}{3}x=14\)
\(x=\dfrac{42}{5}\)
(6) \(3(x+3)=2(12-x)\)
\(3x+9=24-2x\)
\(5x=15\)
\(x=3\)
方程式を解く手順で，特定の文字について解くことを等式の変形といいます。
等式の変形は次の手順で解きます。
Step1 求めたい文字が右辺にある場合，左辺と右辺を入れかえる
Step2 求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
Step3 求めたい文字だけ切り離して，逆数をかける
次の等式を，［ ］の中の文字について解きなさい。
※(10)～(12)は少し難しいです。
(1) \(x+y=5\) \([y]\)
(2) \(a-b=c\) \([a]\)
(3) \(m=x-y\) \([x]\)
(4) \(mn=t\) \([m]\)
(5) \(ℓ=-2πr\) \([r]\)
(6) \(S=\dfrac{1}{2}bh\) \([h]\)
(7) \(a+3b=12\) \([b]\)
(8) \(x=2(a+b-c)\) \([c]\)
(9) \(S=\dfrac{(a+b)h}{2}\) \([a]\)
(10) \(a-\dfrac{1}{b}=c\) \([b]\)
(11) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\) \([a]\)
(12) \(\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{y-1}\) \([y]\)
(1) \(y=5-x\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
(2) \(a=b+c\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
(3) \(x-y=m\)
※求めたい文字を左辺に移項
\(x=m+y\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
(4) \(m×n=t\)
\(m=t×\dfrac{1}{n}=\dfrac{t}{n}\)
※求めたい文字だけ切り離して，逆数をかける
(5) \(-2πr=ℓ\)
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\(r×(-2π)=ℓ\)
\(r=ℓ×\left(\dfrac{1}{-2π}\right)=-\dfrac{ℓ}{2π}\)
※求めたい文字だけ切り離して，逆数をかける
(6) \(\dfrac{1}{2}bh=S\)
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\(h×\dfrac{b}{2}=S\)
※求めたい文字だけ切り離して，逆数をかける
\(h=S×\dfrac{2}{b}=\dfrac{2S}{h}\)
(7) \(b×3=12-a\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
\(b=\dfrac{12-a}{3}\)
※求めたい文字だけ切り離して，逆数をかける
(8) \(2(a+b-c)=x\)
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\(2a+2b-2c=x\)
\(c×(-2)=x-2a-2b\)
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\(c=a+b-\dfrac{x}{2}\)
(9) \(\dfrac{(a+b)h}{2}=S\)
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\((a+b)×\dfrac{h}{2}=S\)と考えます。
※求めたい文字を左辺に移項します。左辺と右辺をチェンジ！
\(a+b=\dfrac{2S}{h}\)
\(a=\dfrac{2S}{h}-b\)
(10) \(\dfrac{1}{b}=a-c\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
\(b=\dfrac{1}{a-c}\)
※両辺の逆数をとる
(11) \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b}\)
※求めたい文字を含む項だけ左辺に残す
\(\dfrac{1}{a}=\dfrac{b-c}{bc}\)
※右辺は通分しておく
\(a=\dfrac{bc}{b-c}\)
※両辺の逆数をとる
(12) \(y-1=2x\)
※\(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)は，\(ay=bx\)になる
\(y=2x+1\)
連立方程式の計算を解く一番のポイントは，文字の種類を減らすことです。そのための手法として①加減法，②代入法があります。どちらで解いても構いませんが，ゴールに早くたどり着ける方法を選びましょう。
次の連立方程式を解きなさい。
(1) \(\begin{cases}x-y=5 \\ 2x+y=1 \end{cases}\)
(2) \(\begin{cases}3x+4y=1 \\ x+2y=-1 \end{cases}\)
(3) \(\begin{cases}3x-2y=5 \\ 2x+3y=12 \end{cases}\)
(4) \(\begin{cases}x+3y=11 \\ y=2x-1 \end{cases}\)
(5) \(3x-y=9x+2y=-5\)
(1) \(y\)の消去を目標にします。
\(\begin{cases}x-y=5…① \\ 2x+y=1…② \end{cases}\)とします。
①＋②より，\(3x=6\)となり\(x=2\)
\(x=2\)を①に代入すると\(y=-3\)になり，\(x=2,y=-3\)が正解。
※(1)のように，2つの式の加減を利用して式の値を求める方法を加減法といいます。
(2) \(y\)の消去を目標にしますが，少し工夫が必要です。
\(\begin{cases}3x+4y=1…① \\ x+2y=-1…② \end{cases}\)とします。
②×2として，\(2x+4y=-2…②'\)
\(①-②'\)とすると，\(x=3\)
\(x=3\)を②に代入すると\(y=-2\)になり，\(x=3,y=-2\)が正解。
(3) \(y\)の消去を目標にしますが，さらに工夫が必要です。
今回は\(y\)の係数をそろえるために，2と3の最小公倍数を考えます。
\(\begin{cases}3x-2y=5…① \\ 2x+3y=12…② \end{cases}\)とします。
①×3として，\(9x-6y=15…①'\)
②×2として，\(4x+6y=24…②'\)
\(①'+②'\)とすると，\(13x=39\)となり\(x=3\)
これを①に代入すると\(y=2\)になり，\(x=3,y=2\)が正解。
(4) \(y\)を消去を目標にしますが，\(y\)を\(x\)の式に置きかえる方法をします。
\(\begin{cases}x+3y=11…① \\ y=2x-1…② \end{cases}\)とします。
②を①に代入すると，\(x+3(2x-1)=11\)となり，これを解いて\(x=2\)。
※多項式を代入するときは（ ）が必要！
これを②に代入すると\(y=3\)となり，\(x=2,y=3\)が正解。
※(4)のように，文字の種類を入れかえて式の値を求める方法を代入法といいます。
(5) この形の問題を\(A=B=C\)型の問題といいます。
\(\begin{cases}3x-y=-5 \\ 9x+2y=-5 \end{cases}\)と同じです。
あとはこれを解いて，\(x=-1,y=2\)が正解。
\(A=B=C\)の連立方程式は，\(\begin{cases}A=C \\ B=C \end{cases}\)として解けばいいでしょう。
式を整理して解く問題です。分数を消すために分母の最小公倍数を，小数を消すために10倍，100倍をかけて整数の式にしてから解くようにしましょう。
次の連立方程式を解きなさい。
(1) \(\begin{cases}2x-y=12 \\ 2x-1=3(x+y) \end{cases}\)
(2) \(\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y=3 \\ 3x+y=8 \end{cases}\)
(3) \(\begin{cases}2x+y=4 \\ 0.3x+0.1y=1.4 \end{cases}\)
(1) 式を整理して，加減法で解くことを目標にします。
\(\begin{cases}2x-y=12…① \\ 2x-1=3(x+y)…② \end{cases}\)とします。
②の式を整理すると，\(-x-3y=1…②'\)
\(②'×2\)とすると，\(-2x-6y=2…②''\)
\(①+②''\)とすると，\(y=-2\)。
これを①に代入すると\(x=5\)になるので，\(x=5,y=-2\)が正解。
(2) 分数の式を整数の式にすることを目標にします。
\(\begin{cases}\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y=3…① \\ 3x+y=8…② \end{cases}\)とします。
\(①×4\)とすると，\(2x-y=12…①'\)
\(①'+②\)とすると，\(x=4\)
これを②に代入して\(y=-4\)になるので，\(x=4,y=-4\)が正解。
(3) 小数の式を整数の式にすることを目標にします。
\(\begin{cases}2x+y=4…① \\ 0.3x+0.1y=1.4…② \end{cases}\)
\(②×10\)とすると，\(3x+y=14…②'\)
\(②'-①\)とすると，\(x=10\)
これを①に代入して\(y=-16\)になるので，\(x=10,y=-16\)が正解。
式の展開は次のことに注目して行います。
① \((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
左辺の左の項がそろっていることに注目して下さい。
これを『積和型』と呼ぶことにします。
② \((x+a)(x-a)=x^2-a^2\)
①と考え方は同じですが，左辺の左の式は和，右の式は差を表しています。
その場合，\((左の式)^2-(右の式)^2\)で表します。
これを『和と差の積型』と呼ぶことにします。
③ \((x+a)^2=x^2+2ax+a^2\)
同じものを2回かけた場合です。
これを『平方型』と呼ぶことにします。
どの型の問題なのかを見極めて，公式を使えるように練習をします。
次の式を展開しなさい。
(1) \((x+5)(x-9)\)
(2) \((x+y)(x-3y)\)
(3) \((3x-2)(3x+5)\)
(4) \((2x+6y)(2x-7y)\)
(5) \((x+3)(x-3)\)
(6) \((x-2y)(x+2y)\)
(7) \((3x-7)(3x+7)\)
(8) \((5x+2y)(5x-2y)\)
(9) \((x+4)^2\)
(10) \((x-8t)^2\)
(11) \((2x-3)^2\)
(12) \((3x+6y)^2\)
(1) 和積型の乗法公式です。
\(x^2+(5-9)x+5×(-9)=x^2-4x-45\)
(2) 和積型の乗法公式です。
\(x^2+(y-3y)x+y×(-3y)=x^2-2xy-3y^2\)
(3) 和積型の乗法公式です。
\((3x)^2+(-2+5)(3x)+(-2)×5=9x^2+9x-10\)
(4) 和積型の乗法公式です。
\((2x)^2+(6y-7y)(2x)+6y×(-7y)=4x^2-2xy-42y^2\)
(5) 和と差の積型の乗法公式です。
\(x^2-3^2=x^2-9\)
(6) 和と差の積型の乗法公式です。
\(x^2-(2y)^2=x^2-4y^2\)
(7) 和と差の積型の乗法公式です。
\((3x)^2-7^2=9x^2-49\)
(8) 和と差の積型の乗法公式です。
\((5x)^2-(2y)^2=25x^2-4y^2\)
(9) 平方型の乗法公式です。
\(x^2+2×x×4+4^2=x^2+8x+16\)
(10) 平方型の乗法公式です。
\(x^2+2×x×(-8t)+(-8t)^2=x^2-16tx+64t^2\)
(11) 平方型の乗法公式です。
\((2x)^2+2×2x×(-3)+(-3)^2=4x^2-12x+9\)
(12) 平方型の乗法公式です。
\((3x)^2+2×3x×6y+(6y)^2=9x^2+36xy+36y^2\)
因数分解は次の手順ですすめます。
Step1 共通因数でくくる
例題 \(ax+bx+cx=x(a+b+c)\)…答え
※共通因数があるときは，最優先でくくります。
この場合，\(x\)が共通因数であることに注目します。
Step2 乗法公式を利用する
例題 \(2x^2+6x-36=2(x^2+3x-18)\)
※共通因数があるので最優先でくくります。
\(x^2+3x-18=(x+6)(x-3)\)…答え
※乗法公式『和積型』を利用します。
積が\(-18\)，和が\(3\)の2つの数は\(6\)と\(-3\)ですね。
Step3 複数の文字を１つの文字に置きかえる
例題 \(3(x+y)^2-6(x+y)-72=3M^2-6M-72\)
※\(M=x+y\)として式を書き変えます。
\(3M^2-6M-72=3(M^2-2M-24)\)
※共通因数があるのでくくります。
\(3(M^2-2M-24)=3(M-6)(M+4)\)
※乗法公式を利用します。
\(3(M-6)(M+4)=3(x+y-6)(x+y+4)\)…答え
※\(M\)を\(x+y\)にもどします。
Step4 項を組み合わせる問題
例題 \(ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)\)
※\((ax+ay)+(bx+by)\)として見ています。
\(a(x+y)+b(x+y)=aM+bM\)
※\(M=x+y\)として置きかえます。
\(aM+bM=M(a+b)\)
※共通因数でくくります。
\(M(a+b)=(x+y)(a+b)\)…答え
※\(M\)を\(x+y\)にもどします。
例題 \(x^2+2xy+y^2-9=(x+y)^2-9\)
※\((x^2+2xy+y^2)-9\)と見ています。
\((x+y)^2-9=M^2-9\)
※\(M=x+y\)として置きかえます。
\(M^2-9=(M-3)(M+3)\)
※乗法公式『和と差の積型』を利用します。
\((M-3)(M+3)=(x+y-3)(x+y+3)\)…答え
※\(M\)を\(x+y\)にもどします。
次の式を因数分解しなさい。
(1) \(ax+4bx\)
(2) \(3x^2+5xy^2\)
(3) \(8a^2b-14ab^2-2ab\)
(4) \(x^2+12x+35\)
(5) \(a^2-28a+27\)
(6) \(x^2+4x-32\)
(7) \(a^2-18a-19\)
(8) \(y^2+14y+49\)
(9) \(x^2+2x+1\)
(10) \(x^2-16x+64\)
(11) \(a^2-100\)
(12) \(x^2-y^2\)
(13) \(16x^2+8x+1\)
(14) \(x^2-4xy+4y^2\)
(15) \(4-49x^2\)
(16) \(ax^2-10ax+21a\)
(17) \(-2a^2+36a-162\)
(18) \(4x^2-144y^2\)
(19) \((a-5)^2-8(a-5)\)
(20) \(a(x-y)-x+y\)
(21) \((2y-3)^2-12(2y-3)+36\)
(22) \((x+3)^2-5(x+3)-6\)
(23) \(xy^2+3xy+2y^2+6y\)
(24) \(a^2b+1-ab-a^2\)
(1) \(x(a+4b)\)
(2) \(xy(3x+5y)\)
(3) \(2ab(4a-7b-1)\)
(4) \((x+5)(x+7)\)
(5) \((a-27)(a-1)\)
(6) \((x-4)(x+8)\)
(7) \((a-19)(a+1)\)
(8) \((y+7)^2\)
(9) \((x+1)^2\)
(10) \((x-8)^2\)
(11) \((a-10)(a+10)\)
(12) \((x-y)(x+y)\)
(13) \((4x+1)^2\)
(14) \((x-2y)^2\)
(15) \((2-7x)(2+7x)\)
(16) \(a(x-7)(x-3)\)
(17) \(-2(a-9)^2\)
(18) \(4(x+6y)(x-6y)\)
(19) \((a-13)(a-5)\)
(20) \((a-1)(x-y)\)
(21) \((2y-9)^2\)
(22) \((x-3)(x+4)\)
(23) \(y(x+2)(y+3)\)
(24) \((a-1)(ab-a-1)\)
ある数を二乗（平方）してできる数を平方数といいます。
平方数のもとの数を平方根といい，根号\(\sqrt{ }\)を使って表します。
例えば，\(3\)の平方数は\(3^2=9\)となるので，\(9\)の平方根は\(3\)ということになります。
しかし，\((-3)\)の平方数は\(9\)となることから，\(9\)の平方根は\(－3\)とも言えそうです。
つまり，\(9\)の平方根は\(+3\)と\(－3\)があり，これを\(±3\)と表します。
では，\(7\)の平方根は何でしょう。
何を二乗すると\(7\)になるのかということです。
実は，そのような数は自然界には存在しません。ですので，\(±\sqrt{7}\)と表すことにしています。
なので，これは\(\left(\sqrt{7}\right)^2=7\)とも言えることになります。
つまり，一般的に\(\sqrt{a^2}=a\) となります。
さて，自然数の平方根のうち正の数を並べてみます。
\(\begin{cases}1の平方根は\sqrt{1}=1 \\ 2の平方根は\sqrt{2} \\ 3の平方根は\sqrt{3} \\ 4の平方根は\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2 \\ 5の平方根は\sqrt{5} \\ 6の平方根は\sqrt{6} \\ 7の平方根は\sqrt{7} \\ 8の平方根は\sqrt{8} \\ 9の平方根は\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3 \\ 10の平方根は\sqrt{10}\end{cases}\)
ここから分かることは，\(1<\sqrt{2}<\sqrt{3}<2 \)
このように，平方根は具体的な数は分かりませんが，およその数を知ることができます。
次の数の平方根を求めなさい。
(1) \(16\)
(2) \(11\)
(3) \(\dfrac{49}{36}\)
(4) \(0.81\)
(5) \(0\)
(6) \(-8\)
(1) 16は±4の平方数であることから，16の平方根は\(±4\)。
(2) 11の平方根は\(±\sqrt{11}\)。
(3) 36は±6，49は±7の平方数なので，\(\dfrac{49}{36}\)の平方根は\(±\dfrac{7}{6}\)。
(4) 0.81は±0.9の平方数であることから，0.81の平方根は\(±0.9\)。
(5) 0の平方根は\(0\)。
※\(±0\)としないように気をつけましょう。
(6) 負の数の平方根は存在しません。ですので，答えはありません。
※平方して負になる数はないという意味です。平方すると必ず0か正の数になります。
次の平方根の整数部分を答えなさい。
(1) \(\sqrt{3}\)
(2) \(\sqrt{7}\)
(3) \(\sqrt{15}\)
(4) \(\sqrt{21}\)
(5) \(\sqrt{45}\)
(6) \(\sqrt{69}\)
(7) \(\sqrt{93}\)
(8) \(\sqrt{119}\)
(9) \(\sqrt{155}\)
(10) \(\sqrt{200}\)
(1) \(1<\sqrt{3}<2\)より，整数部分は\(\boldsymbol{1}\)
(2) \(2<\sqrt{7}<3\)より，整数部分は\(\boldsymbol{2}\)
(3) \(3<\sqrt{15}<4\)より，整数部分は\(\boldsymbol{3}\)
(4) \(4<\sqrt{21}<5\)より，整数部分は\(\boldsymbol{4}\)
(5) \(6<\sqrt{45}<7\)より，整数部分は\(\boldsymbol{6}\)
(6) \(8<\sqrt{69}<9\)より，整数部分は\(\boldsymbol{8}\)
(7) \(9<\sqrt{93}<10 \)より，整数部分は\(\boldsymbol{9}\)
(8) \(10<\sqrt{119}<11 \)より，整数部分は\(\boldsymbol{10}\)
(9) \(12<\sqrt{155}<13 \)より，整数部分は\(\boldsymbol{12}\)
(10) \(14<\sqrt{200}<15 \)より，整数部分は\(\boldsymbol{14}\)
平方根の計算には次のルールがあります。
ルール１ \(a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}\)
ルートの外の数は，ルートの中に入れると2乗になります。
ルートの中の2乗は，正の平方根になって外に出せます。
ルール２ \(m\sqrt{a}×n\sqrt{b}=mn\sqrt{ab}\)
乗法は，ルートの外同士，中同士は計算できます。
ルール３ \(\dfrac{n\sqrt{b}}{m\sqrt{a}}=\dfrac{n}{m}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
除法の場合，ルートの外同士，中同士は計算できます。
分数を一つにまとめたり，切り離せる点に注意しましょう。
ルール４ 分母の有理化
中学数学では，分母にルートを残してはいけないというルールがあります。
どうしても分母にルートが残るときは，次のようにして対処します。
例 \(\dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}}×\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\)
※分母の\(\sqrt{ }\)と同じものを分母と分子にかけます。これは1をかけていることと同じ意味です。
※約分できるときは，必ず約分します。注意点はルートの中同士，外同士でなければ約分はできないということです。
ルール５ \(m\sqrt{a}±n\sqrt{a}=(m±n)\sqrt{a}\)
ルートの中が同じときに限り，ルートの前の数の加減ができます。
例① \(3\sqrt{5}+4\sqrt{5}=7\sqrt{5}\)
例② \(5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)
例③ \(\sqrt{7}+\sqrt{3}≠\sqrt{10}\)
※これはやってはいけません！ルートの中は加減ができません！
ルール６ ルートの中はできるだけ小さい数で答えましょう。
例 \(\sqrt{48}=\sqrt{4^2×3}=4\sqrt{3}\)
次の計算をしなさい。（厳選１５問）
(1) \(\sqrt{5}×\sqrt{21}\)
(2) \(\sqrt{2}×\sqrt{18}\)
(3) \(\sqrt{24}÷\sqrt{8}\)
(4) \(\dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}\)
(5) \(\sqrt{6}×\sqrt{15}\)
(6) \(\sqrt{12}×\sqrt{18}\)
(7) \(3\sqrt{35}÷\sqrt{45}\)
(8) \(3\sqrt{7}+5\sqrt{7}\)
(9) \(\sqrt{75}-\sqrt{12}\)
(10) \(\sqrt{18}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}\)
(11) \(3\sqrt{6}+\sqrt{12}+5\sqrt{2}\)
(12) \(\sqrt{3}(\sqrt{12}-\sqrt{5})\)
(13) \((\sqrt{2}+2)(\sqrt{2}-3)\)
(14) \((\sqrt{6}-2)^2\)
(15) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)
(1) \(\sqrt{5×21}=\sqrt{105}\)
(2) \(\sqrt{2×18}=\sqrt{36}=\sqrt{6^2}=6\)
(3) \(\sqrt{\dfrac{24}{8}}=\sqrt{3}\)
(5) \(\sqrt{2×3}×\sqrt{3×5}=\sqrt{3^2×10}=3\sqrt{10}\)
(6) \(\sqrt{2×6}×\sqrt{3×6}=\sqrt{6^2×6}=6\sqrt{6}\)
(7) \(3\sqrt{\dfrac{35}{45}}=3\sqrt{\dfrac{7}{9}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{3}=\sqrt{7}\)
(8) \((3+5)\sqrt{7}=8\sqrt{7}\)
(9) \(\sqrt{3×5^2}-\sqrt{3×2^2}=5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\)
(10) \(\sqrt{2×3^2}+\dfrac{4}{\sqrt{2}}×\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)
(11) \(3\sqrt{6}+2\sqrt{3}+5\sqrt{2}\)
(12) \(\sqrt{36}-\sqrt{15}=6-\sqrt{15}\)
(13) \(\left(\sqrt{2}\right)^2+(2-3)\sqrt{2}+2×(-3)=2-\sqrt{2}-6=-4-\sqrt{2}\)
(14) \(\left(\sqrt{6}\right)^2+2×\sqrt{6}×(-2)+(-2)^2=6-4\sqrt{6}+4=10-4\sqrt{6}\)
(15) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}×\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}\)
次の数の大小を不等号で表しなさい。
(1) \(\sqrt{13},\sqrt{15}\)
(2) \(-\sqrt{80},-9\)
(3) \(7,\sqrt{50},\sqrt{47}\)
(1) \(13<15\)より，\(\boldsymbol{\sqrt{13}<\sqrt{15}}\)
(2) \(-\sqrt{80}>-\sqrt{81}\)になるので，\(\boldsymbol{-\sqrt{80}>-9}\)
(3) \(\sqrt{49},\sqrt{50},\sqrt{47}\)になるので，\(\boldsymbol{\sqrt{47}<7<\sqrt{50}}\)
次の問いに答えなさい。
(1) \(\sqrt{7}＜\sqrt{x}≦\sqrt{10}\)となるような自然数\(x\)を全て求めなさい。
(2) \(2≦\sqrt{x}＜3\)となるような自然数\(x\)の個数を答えなさい。
(3) \(\sqrt{14}＜x＜\sqrt{40}\)となるような自然数\(x\)を全て求めなさい。
(4) \(\sqrt{8}＜2x＜\sqrt{60}\)となるような自然数\(x\)を全て求めなさい。
(1) \(7＜x≦10\)と同じなので，\(x=8,9,10\)
(2) \(\sqrt{4}≦\sqrt{x}＜\sqrt{9}\)になるので，\(4≦x＜9\)と同じ。
なので，\(x=4,5,6,7,8\)の\(5\)個
(3) \(14＜x^2＜40\)と同じなので，\(x=4,5,6\)
(4) \(8＜4x^2＜60\) を \(2＜x^2＜15\)とすると，\(x=2,3\)
次の問いに答えなさい。
(1) \(\sqrt{12-n}\)が自然数となるような，自然数\(n\)を全て求めよ。
(2) \(\sqrt{34-3x}\)が自然数となるような自然数\(x\)を全て求めなさい。
(3) \(\sqrt{18x}\)が整数となるような自然数\(x\)のうち，一番小さいものを答えなさい。
(4) \(\sqrt{54n}\)が整数となる自然数\(n\)のうち最も小さい数を求めよ。
(5) \(\sqrt{\dfrac{72n}{5}}\)が整数となる自然数\(n\)を全て求めよ。
(6) \(\sqrt{\dfrac{180}{n}}\)が整数となる自然数\(n\)を全て求めよ。
(1) \(12-n=9,4,1\)になるのときなので，\(n=3,8,11\)
(2) \(34-3x=25,16,9,4,1\)になるときなので，\(x=3,6,\dfrac{25}{3},10,11\)になります。
なので，\(x=3,6,10,11\)
(3) \(3\sqrt{2x}\)になるので，\(x=2\)
(4) \(3\sqrt{6n}\)になるので，\(n=6\)
(5) \(6\sqrt{\dfrac{2n}{5}}\)とすると，\(n\)は5の倍数だと分かる。
さらに2は必要なので，\(5×2=10\)
(6) \(6\sqrt{\dfrac{5}{n}}\)とすると，\(n\)は5の倍数だと分かります。
よって，\(n=5,5×2^2=20,5×3^2=45,5×6^2=180\)なので，\(n=5,20,45,180\)
\(\sqrt{3}=1.73,\sqrt{30}=5.48\)とするとき，次の値を求めなさい。
(1) \(\sqrt{300}\)
(2) \(\sqrt{3000}\)
(3) \(\sqrt{30000}\)
(4) \(\sqrt{0.3}\)
(5) \(\sqrt{0.03}\)
(6) \(\sqrt{0.003}\)
(7) \(\sqrt{27}\)
(1) \(10\sqrt{3}=10×1.73=17.3\)
(2) \(10\sqrt{30}=10×5.48=54.8\)
(3) \(100\sqrt{3}=100×1.73=173\)
(4) \(0.1\sqrt{30}=0.1×5.48=0.548\)
(5) \(0.1\sqrt{3}=0.1×1.73=0.173\)
(6) \(0.01\sqrt{30}=0.01×5.48=0.0548\)
(7) \(3\sqrt{3}=3×1.73=5.19\)
\(a=\sqrt{5}+2,b=\sqrt{5}-2\)のとき，次の式の値を求めなさい。
(1) \(a+b\)
(2) \(a-b\)
(3) \(ab\)
(4) \(a^2-b^2\)
(5) \(a^2+b^2\)
(1) \(\sqrt{5}+2+(\sqrt{5}-2)=2\sqrt{5}\)
(2) \(\sqrt{5}+2-(\sqrt{5}-2)=4\)
(3) \((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)=5-4=1\)
(4) \((a+b)(a-b)=(\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+2)=2\sqrt{5}×4=8\sqrt{5}\)
(5) \((a+b)^2-2ab=\left(2\sqrt{5}\right)^2-2×1=18\)
２次方程式の計算は，次のように解きます。
Step1 因数分解ができるか考える
Step2 両辺の平方根をとる
Step3 解の公式を利用する
※解の公式は，２次方程式の計算を解く上では万能です。しかし，途中の計算が複雑になってしまいます。
ですので，解の公式を使わなくても解く方法を身につけた方がいいでしょう。
解の公式は，あくまで最終手段だと思ってください。
\(x^2-x-6=0\)を解きなさい。
\((x+2)(x-3)=0\) …因数分解ができます。
\(x+2=0, x-3=0\) …積が0なので，どちらかが0になります。
\(x=-2,3\)
練習１－１ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x(x-4)=0\)
(2) \(x(x+6)=0\)
(3) \((x+3)(x+4)=0\)
(4) \((x-3)(x+8)=0\)
(5) \((x+2)(x-1)=0\)
(6) \((x-8)(x-4)=0\)
(7) \((x-8)(x+8)=0\)
(8) \((x+2)(x-2)=0\)
(9) \((x-2)^2=0\)
(10) \((x+8)^2=0\)
(1)\(x=0,4\) (2)\(x=0,-6\) (3)\(x=-3,-4\) (4)\(x=-8,3\) (5)\(x=-2,1\) (6)\(x=4,8\) (7)\(x=±8\) (8)\(x=±2\) (9)\(x=2\) (10)\(x=-8\)
練習１－２ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x^2-3x=0\)
(2) \(x^2+2x=0\)
(3) \(x^2+3x+2=0\)
(4) \(x^2+2x-15=0\)
(5) \(x^2-2x-35=0\)
(6) \(x^2-7x+12=0\)
(7) \(x^2-49=0\)
(8) \(x^2-81=0\)
(9) \(x^2-10x+25=0\)
(10) \(x^2+14x+49=0\)
(1)\(x=0,3\) (2)\(x=0,-2\) (3)\(x=-2,-1\) (4)\(x=-5,3\) (5)\(x=-5,7\) (6)\(x=3,4\) (7)\(x=±7\) (8)\(x=±9\) (9)\(x=5\) (10)\(x=-7\)
練習１－３ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(3x^2-9x=0\)
(2) \(6x^2+12x=0\)
(3) \(4x^2+12x+8=0\)
(4) \(3x^2+6x-45=0\)
(5) \(2x^2-4x-70=0\)
(6) \(3x^2-21x+36=0\)
(7) \(2x^2-98=0\)
(8) \(3x^2-243=0\)
(9) \(2x^2-20x+50=0\)
(10) \(2x^2+28x+98=0\)
(1)\(x=0,3\) (2)\(x=0,2\) (3)\(x=-2,-1\) (4)\(x=-5,3\) (5)\(x=5,7\) (6)\(x=3,4\) (7)\(x=±7\) (8)\(x=±9\) (9)\(x=5\) (10)\(x=-7\)
\(2x^2-18=0\)を解きなさい。
\(2x^2=18\)
\(x^2=9\) …両辺の平方根をとります。
\(x=±3\)
練習２－１ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x^2=49\)
(2) \(x^2=64\)
(3) \(x^2=16\)
(4) \(x^2=25\)
(5) \(x^2=81\)
(6) \(x^2=100\)
(7) \(x^2=4\)
(8) \(x^2=144\)
(9) \(x^2=121\)
(10) \(x^2=169\)
(1)\(x=±7\) (2)\(x=±8\) (3)\(x=±4\) (4)\(x=±5\) (5)\(x=±9\) (6)\(x=±10\) (7)\(x=±2\) (8)\(x=±12\) (9)\(x=±11\) (10)\(x=±13\)
練習２－２ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x^2=3\)
(2) \(x^2=7\)
(3) \(x^2=8\)
(4) \(x^2=12\)
(5) \(x^2=18\)
(6) \(x^2=20\)
(7) \(x^2=24\)
(8) \(x^2=28\)
(9) \(x^2=32\)
(10) \(x^2=48\)
(11) \(x^2=52\)
(12) \(x^2=56\)
(13) \(x^2=60\)
(14) \(x^2=68\)
(15) \(x^2=72\)
(16) \(x^2=76\)
(17) \(x^2=80\)
(18) \(x^2=84\)
(19) \(x^2=88\)
(20) \(x^2=90\)
(1)\(x=±\sqrt{3}\) (2)\(x=±\sqrt{7}\) (3)\(x=±2\sqrt{2}\) (4)\(x=±2\sqrt{3}\) (5)\(x=±3\sqrt{2}\) (6)\(x=±2\sqrt{5}\) (7)\(x=±2\sqrt{6}\) (8)\(x=±2\sqrt{7}\) (9)\(x=±4\sqrt{2}\) (10)\(x=±4\sqrt{3}\) (11)\(x=±2\sqrt{13}\) (12)\(x=±2\sqrt{14}\) (13)\(x=2±\sqrt{15}\) (14)\(x=±2\sqrt{17}\) (15)\(x=±6\sqrt{2}\) (16)\(x=±2\sqrt{19}\) (17)\(x=±4\sqrt{5}\) (18)\(x=±2\sqrt{21}\) (19)\(x=±2\sqrt{22}\) (20)\(x=±3\sqrt{10}\)
練習２－３ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x^2=\dfrac{1}{4}\)
(2) \(x^2=\dfrac{4}{9}\)
(3) \(x^2=\dfrac{16}{25}\)
(4) \(x^2=\dfrac{49}{36}\)
(5) \(x^2=\dfrac{49}{64}\)
(6) \(x^2=\dfrac{81}{100}\)
(7) \(x^2=\dfrac{121}{144}\)
(8) \(x^2=\dfrac{169}{225}\)
(9) \(x^2=\dfrac{196}{121}\)
(10) \(x^2=\dfrac{81}{225}\)
(1)\(x=±\dfrac{1}{2}\) (2)\(x=±\dfrac{2}{3}\) (3)\(x=±\dfrac{4}{5}\) (4)\(x=±\dfrac{7}{6}\) (5)\(x=±\dfrac{7}{8}\) (6)\(x=±\dfrac{9}{10}\) (7)\(x=±\dfrac{11}{12}\) (8)\(x=±\dfrac{13}{15}\) (9)\(x=±\dfrac{14}{11}\) (10)\(x=±\dfrac{3}{5}\)
練習２－４ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(2x^2=18\)
(2) \(3x^2=27\)
(3) \(4x^2=16\)
(4) \(5x^2=125\)
(5) \(6x^2=54\)
(6) \(8x^2=2\)
(7) \(27x^2=12\)
(8) \(8x^2=18\)
(9) \(75x^2=12\)
(10) \(27x^2=48\)
(1)\(x=±3\) (2)\(x=±3\) (3)\(x=±2\) (4)\(x=±5\) (5)\(x=±3\) (6)\(x=±\dfrac{1}{2}\) (7)\(x=±\dfrac{2}{3}\) (8)\(x=±\dfrac{3}{2}\) (9)\(x=±\dfrac{2}{5}\) (10)\(x=±\dfrac{4}{3}\)
練習２－５ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(2x^2=3\)
(2) \(3x^2=2\)
(3) \(4x^2=17\)
(4) \(2x^2=25\)
(5) \(20x^2=16\)
(6) \(18x^2=28\)
(7) \(14x^2=30\)
(8) \(24x^2=21\)
(9) \(48x^2=80\)
(10) \(64x^2=120\)
(1)\(x=±\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (2)\(x=±\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\) (3)\(x=±\dfrac{\sqrt{17}}{2}\) (4)\(x=±\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\) (5)\(x=±\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) (6)\(x=±\dfrac{\sqrt{14}}{3}\) (7)\(x=±\dfrac{\sqrt{105}}{7}\) (8)\(x=±\dfrac{\sqrt{14}}{4}\) (9)\(x=±\dfrac{\sqrt{15}}{3}\) (10)\(x=±\dfrac{\sqrt{30}}{4}\)
\((x+3)^2=5\)を解きなさい。
\(x+3=±\sqrt{5}\)…( )ごと両辺の平方根をとります。
\(x=-3±\sqrt{5}\)
練習３－１ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \((x-1)^2=1\)
(2) \((x+2)^2=4\)
(3) \((x-3)^2=9\)
(4) \((x+4)^2=16\)
(5) \((x-5)^2=25\)
(6) \((x+6)^2=36\)
(7) \((x-7)^2=49\)
(8) \((x+8)^2=64\)
(9) \((x-9)^2=81\)
(10) \((x+10)^2=100\)
(1)\(x=0,2\) (2)\(x=-4,0\) (3)\(x=0,6\) (4)\(x=-8,0\) (5)\(x=0,10\) (6)\(x=-12,0\) (7)\(x=0,14\) (8)\(x=-16,0\) (9)\(x=0,18\) (10)\(x=-20,0\)
練習３－２ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \((x-1)^2=3\)
(2) \((x+2)^2=5\)
(3) \((x-3)^2=8\)
(4) \((x+4)^2=12\)
(5) \((x-5)^2=24\)
(6) \((x+6)^2=48\)
(7) \((x-7)^2=54\)
(8) \((x+8)^2=60\)
(9) \((x-9)^2=72\)
(10) \((x+10)^2=98\)
(1)\(x=1±\sqrt{3}\) (2)\(x=-2±\sqrt{5}\) (3)\(x=3±2\sqrt{2}\) (4)\(x=-4±2\sqrt{3}\) (5)\(x=5±2\sqrt{6}\) (6)\(x=-6±4\sqrt{3}\) (7)\(x=7±3\sqrt{6}\) (8)\(x=-8±2\sqrt{15}\) (9)\(x=9±6\sqrt{2}\) (10)\(x=-10±7\sqrt{2}\)
練習３－３ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(2(x-1)^2=6\)
(2) \(3(x+2)^2=15\)
(3) \(2(x-3)^2=24\)
(4) \(4(x+4)^2=12\)
(5) \(2(x-5)^2=16\)
(6) \(3(x+6)^2=45\)
(7) \(5(x-7)^2=60\)
(8) \(3(x+8)^2=60\)
(9) \(2(x-9)^2=16\)
(10) \(3(x+10)^2=81\)
(1)\(x=1±\sqrt{3}\) (2)\(x=-2±\sqrt{5}\) (3)\(x=3±2\sqrt{3}\) (4)\(x=-4±\sqrt{3}\) (5)\(x=5±2\sqrt{2}\) (6)\(x=-6±\sqrt{15}\) (7)\(x=7±2\sqrt{3}\) (8)\(x=-8±2\sqrt{5}\) (9)\(x=9±2\sqrt{2}\) (10)\(x=-10±3\sqrt{3}\)
\(3x^2+5x-1=0\)を解きなさい。
解の公式は，２次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解は，\(x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)です。
解の公式に\(a=3,b=5,c=-1\)を代入すると，\(x=\dfrac{-5±\sqrt{5^2-4×3×(-1)}}{2×3}=\dfrac{-5±\sqrt{37}}{6}\)
練習４－１ 次の２次方程式を解きなさい。
(1) \(x^2+x-1=0\)
(2) \(x^2-2x-1=0\)
(3) \(2x^2+x-1=0\)
(4) \(2x^2+2x-3=0\)
(5) \(3x^2+2x-1=0\)
(6) \(2x^2+x-5=0\)
(7) \(5x^2+3x-2=0\)
(8) \(2x^2+4x+1=0\)
(9) \(3x^2+5x+2=0\)
(10) \(4x^2+8x+3=0\)
(1)\(x=\dfrac{-1±\sqrt{5}}{2}\) (2)\(x=1±\sqrt{2}\) (3)\(x=-1,\dfrac{1}{2}\) (4)\(x=\dfrac{-1±\sqrt{7}}{2}\) (5)\(x=-1,\dfrac{1}{3}\) (6)\(x=\dfrac{-1±\sqrt{41}}{4}\) (7)\(x=-1,\dfrac{2}{5}\) (8)\(x=\dfrac{-2±\sqrt{2}}{2}\) (9)\(x=-1,-\dfrac{2}{3}\) (10)\(x=-\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\)
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